A Supplement of Mathematical Logic

Sesuai dengan judulnya, ini adalah artikel yang tambahan atau bantuan tentang matematika logika. Mungkin banyak orang yang belajar matematika logika hanya sekedar menghafal hukum-hukumnya saja tanpa mengerti apa arti dan logika di balik hukum tersebut. Oleh karena itulah artikel ini bertujuan mengajak pembaca sedikit lebih dalam mengerti arti dan logika di balik hukum-hukum tersebut dengan mudah. Sayangnya artikel ini tidak mencakup filsafat logika di dalamnya.

Apa itu logika? Menurut filsuf Yunani kuno, Aristoteles, logika ialah mengatur ulang (dengan benar) fakta-fakta untuk mendapatkan informasi yang kita inginkan (logic is the (correct) rearranging of facts to find the information that we want). Lalu orang-orang membuat bahasa logika yang bisa dimengerti oleh semua bahasa sehingga orang-orang dari berbagai bahasa dapat berkomunikasi secara universal tentang logika. Salah satu bahasa tersebut ialah penerapan matematika dalam logika yang disebut matematika logika. Mengapa matematika? Karena matematika merupakan salah satu bahasa universal dimana lambang-lambang matematika dapat dimengerti secara universal oleh orang-orang sedunia yang mempelajari matematika tanpa terikat dengan bahasa yang lain.

Salah satu penghubung proposisi adalah konjungsi atau biasa disebut 'dan'. Logika konjungsi ini sangat mudah dimengerti bila kita membayangkan rangkaian listrik atau air 2 saklar yang disusun seri. Bila salah satu saklar terbuka maka tidak ada aliran yang mengalir, aliran mengali jika dan hanya jika kedua saklar tersebut tertutup. Itu adalah salah satu analogi dalam sudut pandang teknis. Bagaimana analogi dalam bahasa sehari-hari? Salah satu contohnya ialah “hari ini jumat dan hari ini hujan”. Kalimat ini akan benar jika hari ini jumat yang hujan. Dan salah pada hari manapun yang bukan jumat dan pada hari jumat tetapi tidak mengalami hujan. Dengan kata lain salah satu dari “hari jumat” atau “hari ini hujan” adalah salah maka kalimat “hari ini jumat dan hari ini hujan” menjadi salah. Ini merupakan salah satu analogi dari hukum De Morgan yang mengatakan negasi atau lawan yang membuat “(p dan q)” salah adalah “~p atau ~q”. Karena salah satu dari ~p atau ~q dapat membuat “p dan q” salah.

Penghubung lainnya yang paling dasar ialah disjungsi atau biasa disebut 'atau'. Logika disjungsi ini sangat mudah dimengerti bila kita juga membayangkan rangkaian listrik atau air 2 saklar yang disusun paralel. Aliran mengalir jika salah satu saklar tertutup atau kedua-duanya. Dan aliran tidak mengalir jika dua saklar tersebut terbuka. Dalam bahasa sehari-hari contohnya adalah “mahasiswa yang sudah mengikuti kelas kalkulus atau algoritma dapat mengikuti kelas ini”. Maka jika mahasiswa yang sudah mengikuti salah satu dari kelas kalkulus atau algoritma dapat mengikuti kelas tersebut. Ataupun mahasiswa yang sudah mengikuti kedua kelas tersebut sekaligus. Dan mahasiswa yang tidak dapat mengikuti kelas tersebut adalah mahasiswa yang belum pernah mengikuti kelas kalkulus maupun algoritma. Ini juga merupakan salah satu analogi dari hukum De Morgan yang mengatakan negasi atau lawan yang membuat “(p atau q)” salah adalah “~p dan ~q”. Karena salah satu dari p atau q dapat membuat “p atau q” benar ,maka ~p sekaligus ~q membuat “p atau q” salah.

Yang lain adalah kontraposisi yang menyatakan kesamaan dari dari dua kalimat implikasi (jika (dugaan/sebab) maka (hasil/akibat)). Dasar dari kalimat kontraposisi adalah “jika p maka q” akan sama dengan “jika bukan q maka bukan p”. Yang harus diingat bahwa dalam implikasi q tidak hanya diharuskan berasal dari p saja.

Sumber :
Kennet H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications, McGraw-Hill, 2007.
Sri Kurnianingsih, Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 2, Erlangga, 2007.