An Article About A Parity in Rubik's 3x3

Mungkin kita sudah sering mendengar tentang parity dalam rubik's 3x3. Parity dalam permainan ini adalah suatu kondisi yang tidak mungkin dicapai dengan putaran normal atau biasa disebut legal moves, yaitu U,D,R,L,F,B. Atau dengan kata lain kondisi parity tersebut hanya dapat dicapai jika kita melepaskan kubus kecil (edge atau corner) dan memasangnya kembali dengan posisi yang berbeda. Di sini hanya dijelaskan hanya salah satu penyebab parity saja dengan latar belakang matematika. Dimana kita tidak bisa mendapatkan posisi dimana hanya 2 edge atau hanya 2 corner yang bertukar sedangkan yang lainnya tetap di posisi awal.

Setiap gerakan atau putaran menghasilkan permutasi. Contoh ketika kita menggerakan U (lapisan/layer bagian atas) kita mendapatkan bahwa UF (edge yang mempunyai warna Up dan Front) berpindah ke posisi dimana UL berada dan UL berpindah pada posisi dimana UB berada dan UB berpindah ke posisi dimana UR berada dan UL berpindah ke posisi UF berada. Begitu juga dengan cornernya. Perpindahan edge membentuk siklus (a ke b ke c ke d ke (kembali) a). Begitu juga dengan cornernya. Siklus atau perpindahan dengan aturan tersebut disebut permutasi. Atau biasa ditulis dalam bahasa matematika dengan (UF,UL,UB,UR) untuk edge dan (UFL,ULB,UBR,URF) untuk corner. Permutasi antara corner dan edge terpisah (disjoint) karena tidak mungkin bagian edge pindah ke bagian corner begitu juga sebaliknya. Permutasi tersebut dapat ditulis dalam bentuk permutasi pertukaran 2 elemen/pasangan. Contohnya untuk permutasi edge yang dihasilkan gerakan U seperti di atas dapat ditulis (UF,UL)(UF,UB)(UF,UR). UF bertukar dengan UL terlebih dahulu, jadi sesudah pertukaran pertama ini UF berada di tempat UL dan UL berada ditempat UF. Kemudian pertukaran kedua ialah UF bertukar UL dimana sekarang yang menempati tempat UF adalah UL. Jadi UL (yang berada di posisi UF) bertukar dengan UB, sekarang UL berada di posisi UB dan UB berada di posisi UF. Kemudian permutasi pasangan ketiga ialah UF bertukar dengan UR, dimana yang berada di posisi UF adalah UB jadi UB (yang berada di posisi UF) bertukar dengan UR. Jadi sekarang UB berada di posisi UR dan UR berada di posisi UF. Di atas terdapat 3 pasang permutasi pasangan jadi permutasi U untuk edge disebut permutasi ganjil. Demikian juga dengan permutasi pasangan untuk corner yaitu permutasi ganjil. Jadi U menghasilkan permutasi genap (permutasi ganjil corner + permutasi ganjil edge). Sifat permutasi jika suatu gerakan bila diikuti gerakan berikutnya (e.g; UF', U'FL, UFL'R, RL) adalah penambahan ganjil atau genap, jadi suatu permutasi genap + permutasi ganjil akan mengahasilkan permutasi ganjil. Jadi setiap gerakan 90 derajat akan menghasilkan permutasi genap, jadi semua gerakan yang disusun dari gerakan 90 derajat akan menghasilkan permutasi genap. Tetapi semua proses atau gerakan-gerakan dalam rubiks tersusun dari gerakan 90 derajat. Oleh karena itu maka dari itu kita tidak dapat menukar hanya 2 edge atau hanya 2 corner karena itu akan menghasilkan satu permutasi pasangan yang berarti permutasi ganjil.

Sumber :
Alexander H.Frey, Jr and David Singmaster, Handbook of Cubik Math, Enslow Publishers, 1982